The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0, n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0, IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0 → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
activate(n__take(n__0, X2)) →⁺ U121(isNatIList(activate(X2)), activate(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X2 / n__take(n__0, X2)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__take(n__0, X2)) →⁺ U121(isNatIList(activate(X2)), activate(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X2 / n__take(n__0, X2)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatKind, activate, isNatIListKind, isNat, isNatIList, length, isNatList, U121

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIListKind, isNatKind, activate, isNat, isNatIList, length, isNatList, U121

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIListKind.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind, activate, isNat, isNatIList, length, isNatList, U121

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatKind.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNat, isNatIList, length, isNatList, U121

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Induction Base:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0))

Induction Step:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(n10179_7, 1))) →_R^Ω(1)
take(activate(n__zeros), activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7))) →_R^Ω(1)
take(n__zeros, activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7))) →_IH
take(n__zeros, *4_7)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(14) Complex Obligation (BEST)

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length, isNatKind, isNatIListKind, isNat, isNatIList, isNatList, U121

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNatKind, isNatIListKind, isNat, isNatIList, U121

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatKind, isNatIListKind, isNatIList, U121

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, isNatKind, isNatIListKind, U121

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
U121, isNatKind, isNatIListKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U121.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIListKind, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIListKind.

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind = activate
isNatKind = isNatIListKind
isNatKind = isNat
isNatKind = isNatIList
isNatKind = length
isNatKind = isNatList
isNatKind = U121
activate = isNatIListKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = isNatList
activate = U121
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind = isNatIList
isNatIListKind = length
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = U121
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = isNatList
isNat = U121
isNatIList = length
isNatIList = isNatList
isNatIList = U121
length = isNatList
length = U121
isNatList = U121

(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatKind.

(29) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

No more defined symbols left to analyse.

(30) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

(31) BOUNDS(n^1, INF)

(32) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isNatIList(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U111(tt, L, N) → U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U112(tt, L, N) → U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U113(tt, L, N) → U114(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U114(tt, L) → s(length(activate(L)))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U121(tt, IL) → U122(isNatIListKind(activate(IL)))
U122(tt) → nil
U13(tt) → tt
U131(tt, IL, M, N) → U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U132(tt, IL, M, N) → U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U133(tt, IL, M, N) → U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U134(tt, IL, M, N) → U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U135(tt, IL, M, N) → U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U136(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIListKind(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt) → tt
U91(tt, V1, V2) → U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U92(tt, V1, V2) → U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U93(tt, V1, V2) → U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U94(tt, V1, V2) → U95(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U95(tt, V2) → U96(isNatList(activate(V2)))
U96(tt) → tt
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U71(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U81(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U121(isNatIList(IL), IL)
take(s(M), cons(N, IL)) → U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U101 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U103 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U104 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U105 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U106 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U11 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U12 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U111 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U112 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U113 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U114 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U121 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U122 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U131 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U132 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U133 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U134 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U135 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U136 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U21 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U94 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U95 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U96 :: tt → tt
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

No more defined symbols left to analyse.

(33) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(n10179_7)) → *4_7, rt ∈ Ω(n10179₇)

(34) BOUNDS(n^1, INF)